Original version of this article is [located, available] on(by) the address http://qdb.narod.ru/yazmatxt/matematikaBuyoncaIkinciAcos/tfkp.htm in the Internet.
The translation to english language is tfkp-en.htm.
In the book "введение в теорию функций комплексного переменного" (Introduction to theory of complex numbers) by I.I.Privalov there is this words:
Совокупность комплексных чисел ... представляет собою область, замкнутую по отношению ко всем математическим операциям.[which means]
Замечательным свойством комплексных чисел является тот факт, что основные математические операции над комплексными числами не выводят из области комплексных чисел.what(that) means:
Subtraction brings to negative numbers, divison brings to irrational and to complex numbers. But it is possible to get to not complex numbers with basic mathematic operations over complex numbers. This is my discovery, if it can be called so. I crticize the idea that complex numbers area is "closed"(locked) relating(with respect) to the basic mathematic operations.
берничә төрле.
билгеле булган-ча, бер санны 0 гә бүлгәч бер нәрсә дә чыкмай дип уйлайлар хәзерге заман галимнәре, "буш күплек(множество) чыга" диләр. бу бик билгеле нәрсә, мәктәптә дә шунлай өйрәтәләр. миннем ачыш: анлай түгел, аннан килеп чыккан нәрсә ул һәр вакытта да буш күплек түгел: 0 не 0 гә бүлгән очракта буш күплек чыкмай, ә киресенчә, теләсә кайсы сан чыга, чөнки "кайсы санны 0 гә тапқырлағач 0 була?" дигән сорауга җавап - "теләсә кайсы(любой) сан". монысы үзе бер ачыштыр бәлки, чөнки миннем "0/0=теләсә кайсы сан" дигән сүз укыганым йә ишеткәнем йук.
0 не 0 гә бүлеп килеп чыккан нәрсә дә, бүтән(0 түгел) санны 0 гә бүлеп килеп чыккан нәрсә дә сан түгел, анлар икесе дә күплек(множество) - 0/0=буш күплек(∅), ә (0 түгел)/0=теләсә кайсы сан(∀ сан).
мин китергән ике цитатадагы фикерне кире кагырга шушы гына булса да җитә.
әйтергә кирәк, 0/0=теләсә кайсы сан булуы графикка йата: Ox күчәре буйынча бүленүче сан зурлыклары тезелеп йатса, Oy буйлап бүлүчеләр йатса, Oz буйлап бүленгән бүлек зурлыгыны билгеләсәк - ул бер өстлек, һәм 0/0 дән чыккан барча сан x=0, y=0 дәге барча z ларны алып тора, йәгни Oz күчәрене, йәгни ул туры(прямая), һәм ул туры барча x/y=z гә туры килүче x, y, z нокталары төзегән өстлектә йата.
билгеле булганча 4 нең икенче дәрәҗә тамыр асты (корень, √4) бер сан гына түгел, ә ике сан күплеге.
башта мисалга рациональ дәрәҗә табуны китерәм: 8 нең 3 нче дәрәҗә тамыр асты йәгни 1/3 нче дәрәҗәсе - өч комплекс сан күплеге: 2, (-1+(3 нең тамыр асты)i), (-1-(3 нең тамыр асты)i). (уникод тамгалары белән йазганда 2, -1+(√3)i, -1-(√3)i.) билгеле булганча бу өч сан - комплекс саннар йассылыгында 0, 120 һәм 240 градусларда урнашкан, ул почмаклар, билгеле инде, Ox күчәреннән санала, 0 градус(0°) тагысы 2. ул почмакларны тулы әйләнә почмагы - 360 градусны 3 кә йәгни шул тамыр дәрәҗәсенә бүлеп табып була, 360 ның 1/3 е 120 градус, 2/3 е 240, 3/3 йәки 0/3 е 360 йәгни 0 градус. йәгни 120 гр., 120+120 гр., 120+120+120 гр., 120+120+120+120 гр.=480 гр., 120-120 гр, 120-120-120=-120 гр. бу почмаклар әйләнеп чыгып нәкъ берсе өстенә берсе йата. {z - тискәре йә уңай теләсә кайсы бөтен(целый) сан булган 120 z} градус почмакларда йаткан һәм {озынлыгы 2} теләсә кайсы нокта - комплекс сан йассылыгында 8 нең 3 нче дәрәҗә тамыр асты.
хәзер иррациональ тамырны карайык: мәсәлән Пи санын алыйк, 360 градусның Пига бүлендеге йакынча 114,59 градус. 360 гр./Пи дип йазырмын. рациональ дәрәҗә очрагындан айырмалы, {z - тискәре йә уңай теләсә кайсы бөтен(целый) сан булган (360 гр./Пи) z} почмаклар нәкъ берсе өстенә берсе йатмайлар.
шунлай итеп, {бер санның рациональ дәрәҗәсе} булып торучы күплектәге һәр санга берсе өстенә берсе йаткан йәки бер ноктага укмашкан (360/n)*z булып торучы градус почмакта һәм O дан билгеле бер йыраклыкта йаткан комплекс йассылыктагы нокталар ойышмасы туры килә. (z ны әлбәттә елеккечә аңлайсы.) ул нокталар ойышмасында чиксез күп нокта, әлбәттә. ә иррациональ дәрәҗәдә, Пи очрагында, мисал өчен, мондай Пи ынчы дәрәҗә тамыр асты күплегенә комплекс саннар йассылыгында 360/Пи почмагында һәм O дан билгеле бер йыраклыктагы сан керә, һәм тагын (360/Пи)*2 почмакта йаткан сан, O дан йыраклыгы шул ук, һәм шул рәвешле (360/Пи)*z почмакларында йаткан саннар керә. ул почмаклар берсе өстенә берсе туры килмәйчә O тирәсендәге шул билгеле радиуслы әйләнә(окружность)ны тулдыра һәм берсе дә икенче-бүтән берсе белән туры килмәй.
шунлай итеп, комплекс саннар яссылыгындан тышка чыгыў йулы күренә, ул - спираль йассылык, шушы спираль йассылык Риман йассылыгы рәўешендә билгеле инде. әмма Риман йассылыгы бер аз икенче нәрсә. ничек итеп действительный саннар күплегене комплекс саннар күплегенә кадәр зурайтканда тагы бер үлчәм өстәргә туры килгән иде, монда да шулай комплекс йассылыкның ике үлчәменгә өченчесене өстәргә туры килә: анны k дип атайм, ул комплекс йассылыкка перпендикуляр йүнәлгән һәм ул үлчәм(измерение) буйынча бу йаңа төрле саннар бөтен зурлык кына ала ала, бу йаңа төрле саннарны "катлы комплекс саннар" дип атарга була. әмма өч үлчәмнән котылыў мөмкинлеге дә бар: комплекс йассылыктагы ике декарт күчәре урынына почмак һәм O йассылык үзәгеннән йыраклык үлчәмнәре алып. ("действительный"ның татарчасы ничек соң?) почмак зурлыгы буйынча 360 гр.дан 720 гр.гача саннар k=1 гә туры килә. (шулай дип алганда.) ә 0 дән 360 кача гр.лылар k=0 гә, 0 дән -360 кача гр. почмаклылар k=-1 гә.
гади комплекс саннар бу катлы комплекслы саннарның комплекс саннар йассылыгына пройекцийәсенә туры килә.